Les noyaux, l’énigme maths du « Monde » n° 30

En 1702, dans ses Mémoires de l’Amérique septentrionale, l’anthropologue Louis Armand de Lom d’Arce (1666-1716), aussi connu sous le nom de baron de La Hontan, rapporta les règles d’un jeu de hasard qu’il avait pu observer auprès de certaines tribus amérindiennes de l’est du Canada, dont probablement les Wendats et les Algonquins. Il le décrit ainsi : « [Le jeu] des noyaux est un jeu de hasard, ils sont noirs d’un côté et blancs de l’autre, on n’y joue qu’avec huit seulement. On les met dans un plat, qu’on pose à terre, après avoir fait sauter ces noyaux en l’air. Le côté noir est le bon ; le nombre impair gagne. »
Pour le dire autrement, le joueur lance huit noyaux bicolores qui, à la manière d’un jeu de pile ou face, retombent soit sur leur côté noir, soit sur leur côté blanc. On compte alors les noyaux noirs et si leur nombre est impair, le joueur qui a lancé gagne la manche. Les noyaux ont été sélectionnés pour être équilibrés, c’est-à-dire qu’ils ont autant de chance de tomber d’un côté ou de l’autre.
Sauriez-vous dire si, à ce jeu, le lanceur de noyaux a plus de chances de perdre ou de gagner ?
Un joueur malhonnête décide de donner un coup de pouce au hasard en remplaçant discrètement quatre des noyaux équilibrés par des noyaux pipés qui tombent du côté noir trois fois sur quatre et du côté blanc une fois sur quatre.
A-t-il ainsi augmenté ou diminué ses chances de gagner ? Qu’en est-il s’il remplace les huit noyaux par des noyaux pipés ?
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Indice
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Solution
Le jeu des noyaux est particulièrement intéressant, car il est quasiment impossible d’y tricher. Lorsque tous les noyaux sont équilibrés, le joueur qui lance a autant de chances de perdre que de gagner. En effet, imaginez que les noyaux soient lancés un par un et non ensemble, ce qui ne change rien au résultat final. Quel que soit le résultat des sept premiers noyaux, le huitième aura une chance sur deux de changer la parité du nombre de noirs. Le joueur aura donc, au moment de lancer ce dernier, exactement 50 % de chances de gagner ou de perdre.Pour que le raisonnement précédent s’applique, il suffit qu’un seul des huit noyaux soit équilibré. En lançant ce noyau en dernier, le joueur aura autant de chances de gagner que de perdre, quel que soit le résultat des sept autres, même s’ils sont pipés.Si tous les noyaux sont pipés, en revanche, les probabilités évoluent. Le premier noyau a plus de chance de tomber côté noir, il est donc plus probable d’avoir un nombre impair de noirs après l’avoir lancé. Puis, à chaque noyau lancé, la parité du nombre de noirs a plus de chance de changer que de rester la même. Ainsi, il est plus probable d’en avoir un nombre pair après le deuxième noyau, impair après le troisième et ainsi de suite. Quand le huitième noyau est lancé, il est donc plus probable d’avoir un nombre pair de noirs, ce qui est au désavantage du lanceur. Un calcul plus précis montre qu’il a 257 chances sur 512 de perdre, soit environ 50,2 %. Il n’y a donc aucun intérêt, à ce jeu, à vouloir utiliser des noyaux pipés.
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Mickaël Launay
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